2017年高考数学知识方法专题10- 数学思想第45练 分类讨论思想》

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第45练　分类讨论思想[思想方法解读]　分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.1.中学数学中可能引起分类讨论的因素：(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等.(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{an}的前n项和公式等.(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等.(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等.(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.2.进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.其中最重要的一条是“不重不漏”.3.解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论.体验高考1.(2015·山东)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是(　　)A.B.[0，1]C.D.[1，＋∞)答案　C解析　由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.当a<1时，有3a－1≥1，∴a≥，∴≤a<1.当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.综上，a≥，故选C.2.(2015·湖北)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则(　　)A.对任意的a，b，e1>e2B.当a>b时，e1>e2；当ab时，e1e2答案　D解析　由题意e1＝＝；双曲线C2的实半轴长为a＋m，虚半轴长为b＋m，离心率e2＝＝.因为－＝，且a>0，b>0，m>0，a≠b，所以当a>b时，>0，即>.又>0，>0，所以由不等式的性质依次可得2>2，1＋2>1＋2，所以>，即e2>e1；同理，当ab时，e1e2.3.(2015·天津)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c，0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝截得的线段的长为c，|FM|＝.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.解　(1)由已知有＝，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.设直线FM的斜率为k(k＞0)，F(－c，0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c).由已知，有2＋2＝2，解得k＝.(2)由(1)得椭圆方程为＋＝1，直线FM的方程为y＝(x＋c)，两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－c，或x＝c.因为点M在第一象限，可得点M的坐标为.由|FM|＝＝.解得c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t＝，即y＝t(x＋1)(x≠－1).与椭圆方程联立，消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6，又由已知，得t＝＞，解得－＜x＜－1或－1＜x＜0.设直线OP的斜率为m，得m＝，即y＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理得m2＝－.①当x∈时，有y＝t(x＋1)＜0，因此m＞0，于是m＝，得m∈.②当x∈(－1，0)时，有y＝t(x＋1)＞0，因此m＜0，于是m＝－，得m∈.综上，直线OP的斜率的取值范围是∪.高考必会题型题型一　由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论例1　设集合A＝{x∈R|x2＋4x＝0}，B＝{x∈R|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围.解　∵A＝{0，－4}，B⊆A，于是可分为以下几种情况.(1)当A＝B时，B＝{0，－4}，∴由根与系数的关系，得解得a＝1.(2)当BA时，又可分为两种情况.①当B≠∅时，即B＝{0}或B＝{－4}，当x＝0时，有a＝±1；当x＝－4时，有a＝7或a＝1.又由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满足条件；②当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.综合(1)(2)知，所求实数a的取值范围为a≤－1或a＝1.点评　对概念、公式、法则的内含及应用条件的准确把握是解题关键，在本题中，B⊆A，包括B＝∅和B≠∅两种情况.解答时就应分两种情况讨论，在关于指数、对数的运算中，底数的取值范围是进行讨论时首先要考虑的因素.变式训练1　已知数列{an}的前n项和Sn＝pn－1(p是常数)，则数列{an}是(　　)A.等差数列B.等比数列C.等差数列或等比数列D.以上都不对答案　D解析　∵Sn＝pn－1，∴a1＝p－1，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1(n≥2)，当p≠1且p≠0时，{an}是等比数列；当p＝1时，{an}是等差数列；当p＝0时，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此时{an}既不是等差数列也不是等比数列.题型二　分类讨论在含参函数中的应用例2　已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0，1]上有最大值2，求a的值.解　函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a.(1)当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，∴1－a＝2，∴a＝－1.(2)当0≤a≤1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1，∴a2－a＋1＝2，∴a2－a－1＝0，∴a＝(舍).(3)当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2.综上可知，a＝－1或a＝2.点评　本题中函数的定义域是确定的，二次函数的对称轴是不确定的，二次函数的最值问题与对称轴息息相关，因此需要对对称轴进行讨论，分对称轴在区间内和对称轴在区间外，从而确定函数在给定区间上的单调性，即可表示函数的最大值，从而求出a的值.变式训练2　已知函数f(x)＝2ex－ax－2(x∈R，a∈R).(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；(2)求x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.解　(1)当a＝1时，f(x)＝2ex－x－2，f′(x)＝2ex－1，f′(1)＝2e－1，即曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率k＝2e－1，又f(1)＝2e－3，所以所求的切线方程是y＝(2e－1)x－2.(2)易知f′(x)＝2ex－a.若a≤0，则f′(x)>0恒成立，f(x)在R上单调递增；若a>0，则当x∈(－∞，ln)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(ln，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.又f(0)＝0，所以若a≤0，则当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥f(0)＝0，符合题意.若a>0，则当ln≤0，即00，即a>2，则当x∈(0，ln)时，f(x)单调递减，f(x)|PF2|，∴＝4，＝2，∴＝2.综上知，＝或2.高考题型精练1.若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是(　　)A.(0，1)∪(1，＋∞)B.(0，1)C.(1，＋∞)D.答案　D解析　方程|ax－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个实数根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点.①当01时，如图(2)，而y＝2a>1不符合要求.综上，00时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.3.抛物线y2＝4px(p>0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若△OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为(　　)A.2B.3C.4D.6答案　C解析　当|PO|＝|PF|时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；当|OP|＝|OF|时，点P的位置也有两个；对|FO|＝|FP|的情形，点P不存在.事实上，F(p，0)，若设P(x，y)，则|FO|＝p，|FP|＝，若＝p，则有x2－2px＋y2＝0，又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0，解得x＝0或x＝－2p，当x＝0时，不构成三角形.当x＝－2p(p>0)时，与点P在抛物线上矛盾.∴符合要求的点P一共有4个.4.函数f(x)＝的值域为________.答案　(－∞，2)解析　当x≥1时，f(x)＝logx是单调递减的，此时，函数的值域为(－∞，0]；当x<1时，f(x)＝2x是单调递增的，此时，函数的值域为(0，2).综上，f(x)的值域是(－∞，2).5.已知集合A＝{x|1≤x<5}，C＝{x|－a4时，g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，得a≤，故此时a不存在.(2)当－∈[－2，2]，即－4≤a≤4时，g(a)＝f＝3－a－≥0，得－6≤a≤2，又－4≤a≤4，故－4≤a≤2.(3)当－>2，即a<－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，得a≥－7，又a<－4，故－7≤a<－4，综上得－7≤a≤2.7.已知ax2－(a＋1)x＋1<0，求不等式的解集.解　若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1.若a<0，原不等式等价于(x－)(x－1)>0，解得x<或x>1.若a>0，原不等式等价于(x－)(x－1)<0.①当a＝1时，＝1，(x－)(x－1)<0无解；②当a>1时，<1，解(x－)(x－1)<0得1，解(x－)(x－1)<0得11}；当a＝0时，解集为{x|x>1}；当01时，解集为{x|Sn－≥S2－＝－＝－.综上，对于n∈N*，总有－≤Sn－≤.所以数列{Tn}最大项的值为，最小项的值为－.9.已知函数f(x)＝，其中a为常数，a≤2.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)是否存在实数a，使f(x)的极大值为2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解　(1)a＝1，f(x)＝，∴f(0)＝1，∵f′(x)＝＝＝－，∴f′(0)＝0，则曲线在(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(2)f′(x)＝＝－x[]，f′(x)＝0的根为0，2－a，∵a≤2，∴2－a≥0，当a＝2时，f′(x)＝≤0，∴f(x)在(－∞，＋∞)内递减，无极值；当a<2时，2－a>0，f(x)在(－∞，0)，(2－a，＋∞)内递减，在(0，2－a)内递增；∴f(2－a)＝(4－a)ea－2为f(x)的极大值，令u(a)＝(4－a)ea－2(a<2)，u′(a)＝(3－a)ea－2>0，∴u(a)在a∈(－∞，2)上递增，∴u(a)0)，当a≤0时，f′(x)<0，∴f(x)的减区间为(0，＋∞)；当a>0时，由f′(x)>0得0a，∴f(x)递增区间为(0，a)，递减区间为(a，＋∞).(2)由(1)知：当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上为减函数，而f(1)＝0，∴f(x)≤0在区间x∈(0，＋∞)上不可能恒成立；当a>0时，f(x)在(0，a)上递增，在(a，＋∞)上递减，f(x)max＝f(a)＝alna－a＋1，令g(a)＝alna－a＋1，依题意有g(a)≤0，而g′(a)＝lna，且a>0，∴g(a)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，∴g(a)min＝g(1)＝0，故a＝1.